2010 年考研数学（一） 第 16 题

变限积分中若上限和被积函数都含 $x$，第一步一定是“把含 $x$ 的部分提出积分号”使被积函数只含 $t$，才能用基本定理求导。提出后求导会发现含 $\int {\mathrm{e}}^{-t^2}$（不可积）的项相消，$f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ 结构清晰；驻点来自两个因子各自为零，符号分析即得单调性与极值。

本题为变限积分函数的单调性与极值。 注意积分中 $x$ 既在上限又在被积函数里，先把 $x^2$ 提到积分号外，再对 $x$ 求导。

$$f(x)={\int }_1^{x^2}(x^2-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=x^2{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t-{\int }_1^{x^2}t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$
求导时后一项与前一项对上限求导的部分相消，得
$$f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t.$$

求驻点： 令 $f^{\prime }(x)=0$。由 $2x=0$ 得 $x=0$；由 ${\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=0$ 得 $x^2=1$，即 $x=\pm 1$。故驻点为 $x=-1,0,1$。

判别（二阶导）： $f^{\prime \prime }(x)=2{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t+4x^2{\mathrm{e}}^{-x^4}$。于是 $f^{\prime \prime }(\pm 1)=0+4{\mathrm{e}}^{-1}=\frac{4}{\mathrm{e}}>0$，$f^{\prime \prime }(0)=2{\int }_1^0{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=-2{\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t<0$。所以 $x=\pm 1$ 为极小值点，$x=0$ 为极大值点。

极值： 极小值 $f(\pm 1)={\int }_1^1(\cdots )\mathrm{d}t=0$；极大值 $f(0)={\int }_1^0(-t){\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t={\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\mathrm{e}}\right)$。

单调区间： 由 $f^{\prime }(x)=2x{\int }_1^{x^2}{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$ 的符号可知，$f(x)$ 在 $(-\infty ,-1]$ 及 $[0,1]$ 上单调减少，在 $[-1,0]$ 及 $[1,+\infty )$ 上单调增加。