2010 年考研数学（一） 第 17 题

第 (I) 问的信号是两式仅差 $\ln (1+t)$ 与 $t$，立刻调用经典不等式 $\ln (1+t)\le t$ 做逐点比较、再用积分保序。第 (II) 问顺势用 (I) 的上界作夹逼：右端 ${\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t$ 可精确算出并随 $n\to \infty$ 趋于零，于是 $u_n$ 被挤到极限。遇到“求含 $n$ 的积分列的极限”，优先想夹逼。

（I）利用不等式 $\ln (1+t)\le t$ 比较被积函数。 当 $0\le t\le 1$ 时，$\ln (1+t)\le t$，故 $[\ln (1+t){]}^n\le t^n$。又 $|\ln t|\ge 0$，两边同乘得
$$|\ln t|[\ln (1+t){]}^n\le t^n|\ln t|.$$
由定积分的保序性，
$${\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^n\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t.$$

（II）夹逼求极限。 由 (I) 及被积函数非负，有
$$0\le u_n={\int }_0^1|\ln t|[\ln (1+t){]}^n\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t.$$

先算右端。当 $0<t<1$ 时 $|\ln t|=-\ln t$，用分部积分：
$${\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t=-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1\ln t\mathrm{d}(t^{n+1})=-\frac{1}{n+1}\left[t^{n+1}\ln t{|}_0^1-{\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t\right].$$
由 $\underset{t\to 0^{+}}{\lim }{t}^{n+1}\ln t=0$，得 ${\int }_0^1{t}^n|\ln t|\mathrm{d}t=\frac{1}{(n+1{)}^2}$。

于是 $0\le u_n\le \frac{1}{(n+1{)}^2}$。当 $n\to \infty$ 时 $\frac{1}{(n+1{)}^2}\to 0$，由夹逼定理得
$$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0.$$