2010 年考研数学（一） 第 18 题

幂级数求和的通法是“求导或积分把它变成能求和的等比级数，再逆运算回去”。这里系数 $\frac{1}{2n-1}$ 提示用求导降指数：提出 $x$ 后逐项求导恰得 $\frac{1}{1+x^2}$，其原函数是反正切。收敛域须单独验端点，因为逐项求导只在开区间内保证成立。

先求收敛半径与收敛域，再逐项求导求和函数。

收敛域： 由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n-1}{2n+1}{x}^2=x^2<1$，得收敛半径 $R=1$。当 $x=\pm 1$ 时，级数为 $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}$，由交错级数（莱布尼茨）判别法收敛。故收敛域为 $[-1,1]$。

和函数： 令 $S(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n}=x\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}=x{S}_1(x)$，其中 $S_1(x)=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}{x}^{2n-1}$。

在 $(-1,1)$ 内逐项求导：
$$S_1^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^{2n-2}=\frac{1}{1+x^2},S_1(0)=0.$$
故 $S_1(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}\mathrm{d}t=\arctan x$。

于是和函数为
$$S(x)=x\arctan x,x\in [-1,1].$$