2010 年考研数学（一） 第 19 题

“切平面与某坐标面垂直”的几何条件要翻译成法向量的代数条件——两平面垂直即法向量垂直，$xOy$ 的法向是 $z$ 轴，故 $\nabla G$ 的第三分量为零。第二问的关键洞察是被积函数经过精心设计：其分母与 $|y-2z|$ 恰好抵消掉 $\mathrm{d}S$ 投影公式里产生的根式与分母，积分塌缩成 ${\iint }_D(x+\sqrt{3})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，再用对称性（$x$ 项积分为零）只剩常数乘投影椭圆的面积。

第一步：求轨迹 $C$。 记 $P=(x,y,z)$。由 $G(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-yz-1=0$，$S$ 在 $P$ 处切平面的法向量为 $\mathbf{n}=\{2x,2y-z,2z-y\}$。切平面与 $xOy$ 面垂直等价于 $\mathbf{n}$ 与 $z$ 轴方向 $\{0,0,1\}$ 垂直，即法向量的 $z$ 分量为 $0$：$2z-y=0$，故 $y=2z$。再注意 $P\in S$，得轨迹
$$C:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2-yz=1,\\ y=2z.\end{array}$$

第二步：化简曲面积分。 将 $\Sigma$ 向 $xOy$ 面投影。由 $x^2+y^2+z^2-yz=1$ 视 $z$ 为 $x,y$ 的函数，两边分别对 $x,y$ 求偏导：
$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2x}{y-2z},\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{z-2y}{2z-y}.$$

于是面积元
$$\mathrm{d}S=\sqrt{1+{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)}^2+{\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)}^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\frac{1}{|2z-y|}\sqrt{4x^2+5y^2+5z^2-8yz}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
注意在 $S$ 上 $4x^2=4(1-y^2-z^2+yz)$，故 $4x^2+5y^2+5z^2-8yz=4+y^2+z^2-4yz$，即
$$\mathrm{d}S=\frac{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}{|2z-y|}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

第三步：代入并计算。 由于 $|y-2z|=|2z-y|$，被积表达式化为
$$\frac{(x+\sqrt{3})|y-2z|}{\sqrt{4+y^2+z^2-4yz}}\mathrm{d}S=(x+\sqrt{3})\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$
投影区域为 $D_{xy}:x^2+\frac{y^2}{4/3}\le 1$（把 $z$ 消去后椭球在 $xOy$ 面的投影）。故
$$I={\iint }_{D_{xy}}(x+\sqrt{3})\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

由对称性 ${\iint }_{D_{xy}}x\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0$，而 $D_{xy}$ 为半轴 $1$ 与 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ 的椭圆，面积 $\pi \cdot 1\cdot \frac{2}{\sqrt{3}}$，于是
$$I=\sqrt{3}{\iint }_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\sqrt{3}\times \pi \times 1\times \frac{2}{\sqrt{3}}=2\pi .$$