2010 年考研数学（一） 第 20 题

“有 $2$ 个不同解”是关键信号：系数为方阵而解不唯一，故 $|\mathbf{A}|=0$，先由行列式定 $\lambda$。但 $|\mathbf{A}|=0$ 只保证解不唯一，还须逐个 $\lambda$ 验证相容性 $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})$——某个 $\lambda$ 会导致无解而被淘汰，另一个则逼出 $a$ 的值。最后按常规化行最简求通解。

（I） 方程组有 $2$ 个不同的解，说明解不唯一，故 $r(\mathbf{A})<3$，即 $|\mathbf{A}|=0$。按第 $2$ 行展开 $|\mathbf{A}|=(\lambda -1)\left|\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 1& \lambda \end{array}\right|=(\lambda -1)({\lambda }^2-1)=(\lambda -1{)}^2(\lambda +1)=0$，得 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-1$。

当 $\lambda =-1$ 时，对增广矩阵作初等行变换：
$$\bar{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& a\\ 0& -2& 0& 1\\ 1& 1& -1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 2& 0& -1\\ 0& 0& 0& a+2\end{array}\right).$$
要有解须 $r(\mathbf{A})=r(\bar{\mathbf{A}})<3$，故 $a+2=0$，即 $a=-2$。

当 $\lambda =1$ 时，
$$\bar{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& a\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$
此时 $r(\mathbf{A})\ne r(\bar{\mathbf{A}})$，方程组无解，与题设矛盾。故 $\lambda =1$ 舍去。综上 $\lambda =-1,a=-2$。

（II） 将 $\lambda =-1,a=-2$ 的增广矩阵继续化为行最简形：
$$\bar{\mathbf{A}}\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\\ 0& 2& 0& -1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& \frac{3}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$
取 $x_3$ 为自由变量，得通解
$$\mathbf{x}=k\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\frac{3}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 0\end{array}\right)(k\text{ 为任意常数}).$$