2010 年考研数学（一） 第 21 题

逆问题“由标准形和部分 $\mathbf{Q}$ 求 $\mathbf{A}$”的思路是“特征值来自标准形、特征向量来自正交性”：标准形系数即特征值，$\mathbf{Q}$ 第三列是其中一个特征值的特征向量，再用实对称的正交性补出另一特征值的特征向量。证 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 正定的巧法是特征值平移——正定 $\iff$ 实对称且特征值全正，而 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 的特征值恰为 ${\lambda }_i+1$，逐一验正即可。

（I）由标准形读出特征值，由 $\mathbf{Q}$ 的列得特征向量，反推 $\mathbf{A}$。 标准形为 $y_1^2+y_2^2$，故 $\mathbf{A}$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=1,{\lambda }_3=0$。$\mathbf{Q}$ 的第三列是 ${\lambda }_3=0$ 对应的单位特征向量，对应特征向量可取 ${\mathbf{\xi }}_3=(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

因 $\mathbf{A}$ 为实对称矩阵，不同特征值的特征向量正交。设 $\lambda =1$ 的特征向量 $\mathbf{\xi }=(x_1,x_2,x_3{)}^{\mathrm{T}}$，由 $\mathbf{\xi }\perp {\mathbf{\xi }}_3$ 得 $x_1+x_3=0$，可取线性无关的 ${\mathbf{\xi }}_1=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\xi }}_2=(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$。

单位化得 ${\mathbf{\gamma }}_1=(0,1,0{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\mathbf{\gamma }}_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1{)}^{\mathrm{T}}$，令 $\mathbf{Q}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,{\mathbf{\gamma }}_3)$。由 ${\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(1,1,0)$，即 $\mathbf{A}=\mathbf{Q}\mathrm{diag}(1,1,0){\mathbf{Q}}^{\mathrm{T}}$，算得
$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 1& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right).$$

（II） $\mathbf{A}+\mathbf{E}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ 0& 2& 0\\ -\frac{1}{2}& 0& \frac{3}{2}\end{array}\right)$ 是实对称矩阵。由于 $\mathbf{A}$ 的特征值为 $1,1,0$，故 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 的特征值为 ${\lambda }_i+1$，即 $2,2,1$，全部大于零。因此 $\mathbf{A}+\mathbf{E}$ 为正定矩阵。