2010 年考研数学（一） 第 22 题

处理二元正态型 ${\mathrm{e}}^{\text{二次型}}$，核心技巧是对指数配方成平方和 $-x^2-(y-x{)}^2$，把二重积分拆成两个独立高斯积分，$A$ 立得。求条件密度按定义 $f(x,y)/f_X(x)$，先积出边缘 $f_X$；相除后 ${\mathrm{e}}^{-x^2}$ 约掉，剩下的正好是一个正态密度，也印证了配方时选取 $(y-x)$ 的合理性。

第一步：由归一性求 $A$。 配方 $-2x^2+2xy-y^2=-x^2-(y-x{)}^2$，于是
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=A{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2}\mathrm{d}(y-x).$$

由 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-u^2}\mathrm{d}u=\sqrt{\pi }$，上式 $=A\cdot \sqrt{\pi }\cdot \sqrt{\pi }=A\pi =1$，故 $A=\frac{1}{\pi }$。

第二步：求边缘密度 $f_X(x)$。
$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y=\frac{1}{\pi }{\mathrm{e}}^{-x^2}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2},-\infty <x<+\infty .$$

第三步：求条件密度。
$$f_{Y|X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}=\frac{\frac{1}{\pi }{\mathrm{e}}^{-x^2-(y-x{)}^2}}{\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{-(y-x{)}^2},-\infty <y<+\infty .$$
（即在 $X=x$ 条件下，$Y\sim N\left(x,\frac{1}{2}\right)$。）