2010 年考研数学（一） 第 23 题

关键是识别 $N_i\sim B(n,p_i)$（多项计数的边缘分布是二项分布），从而 $E(N_i)=n{p}_i$ 已知。无偏性 $E(T)\equiv \theta$ 是关于 $\theta$ 的恒等式，用“比较各次幂系数”把它拆成方程组求 $a_i$。算方差时不要硬套多项分布的协方差——先用 $\sum N_i=n$ 把 $T$ 约化为只含一个 $N_i$ 的线性式，方差就退化成单个二项分布的方差。

分析各 $N_i$ 的分布。 每次抽样取到 $i$ 的概率分别为 $1-\theta ,\theta -{\theta }^2,{\theta }^2$，故
$$N_1\sim B(n,1-\theta ),N_2\sim B(n,\theta -{\theta }^2),N_3\sim B(n,{\theta }^2),$$
从而 $E(N_1)=n(1-\theta ),E(N_2)=n(\theta -{\theta }^2),E(N_3)=n{\theta }^2$。

由无偏性定常数。 要求 $E(T)=\theta$，即
$$E(T)=a_{1}n(1-\theta )+a_{2}n(\theta -{\theta }^2)+a_{3}n{\theta }^2\equiv \theta .$$
按 $\theta$ 的各次幂比较系数：常数项 $a_{1}n=0$，一次项 $(a_2-a_1)n=1$，二次项 $(a_3-a_2)n=0$，解得
$$a_1=0,a_2=\frac{1}{n},a_3=\frac{1}{n}.$$

求方差。 由 $N_1+N_2+N_3=n$，有 $T=\frac{1}{n}(N_2+N_3)=\frac{1}{n}(n-N_1)=1-\frac{1}{n}{N}_1$。故
$$D(T)=\frac{1}{n^2}D(N_1)=\frac{1}{n^2}\cdot n(1-\theta )\theta =\frac{\theta (1-\theta )}{n}.$$