2010 年考研数学（一） 第 8 题

“已知是概率密度、求参数”几乎必用规范性 $\int f=1$。难点在两段分别积分：标准正态密度对称，负半轴积分恰为 $\frac{1}{2}$；均匀密度 $f_2=\frac{1}{4}$ 只在 $[-1,3]$ 上非零，而此处仅取 $x>0$ 的 $(0,3]$，长度 $3$。把两段面积加权相加令其为 $1$，整理即得 $a,b$ 的关系。

本题考查概率密度的规范性 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=1$。

其中 $f_1(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\mathrm{e}}^{-x^2/2}(-\infty <x<+\infty )$，$f_2(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4},& -1\le x\le 3,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$

由标准正态密度的对称性，${\int }_{-\infty }^0{f}_1(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}$；又 ${\int }_0^{+\infty }{f}_2(x)\mathrm{d}x={\int }_0^3\frac{1}{4}\mathrm{d}x=\frac{3}{4}$。于是
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)\mathrm{d}x=a{\int }_{-\infty }^0{f}_1(x)\mathrm{d}x+b{\int }_0^{+\infty }{f}_2(x)\mathrm{d}x=\frac{a}{2}+\frac{3}{4}b=1.$$

整理得 $2a+3b=4$。故应选 A。