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2010 年考研数学（一）第 7 题

选择题 · 4 分

设随机变量

X

的分布函数

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{2}, 1 - e^{- x}, x < 0, 0 \leq x < 1, x \geq 1,

则

P {X = 1} =

（　　）

A $0$ .
B $\frac{1}{2}$ .
C $\frac{1}{2} - e^{- 1}$ .
D $1 - e^{- 1}$ .

提示 1

分布函数在某点的“跳跃”对应该点的概率质量。

P {X = a}

与

F

在

a

处的值及左极限有什么关系？

提示 2

用公式

P {X = a} = F (a) - F (a - 0)

，即该点右值（含端点）减去左极限。

提示 3

在

x = 1

处，

F (1)

取分段中

x \geq 1

的表达式，而

F (1 - 0)

取

0 \leq x < 1

段的值，两者相减即得。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

分布函数是右连续的，一旦某点出现间断（跳跃），跳跃高度就是该点的概率

P {X = a} = F (a) - F (a^{-})

。看到分段函数在

x = 1

处上下两段取值不同，就知道这里有一个离散质量点，直接算跳跃即可，无需去求概率密度。

解答

本题考查分布函数的性质。 对任一点

a

，有

P {X = a} = F (a) - F (a - 0)

，即等于分布函数在该点的跳跃高度。

在

x = 1

处，

F (1) = 1 - e^{- 1}

，而左极限

F (1 - 0) = x \to 1^{-} lim F (x) = \frac{1}{2}

，故

P {X = 1} = F (1) - F (1 - 0) = (1 - e^{- 1}) - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} - e^{- 1} .

故应选 C。

考点：随机变量与分布函数

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