2010 年考研数学（一） 第 6 题

“实对称 + 矩阵多项式方程”是经典组合：对称保证可对角化，多项式方程 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 说明特征值只能是 ${\lambda }^2+\lambda =0$ 的根。剩下的信息靠秩来定重数——可对角化时秩等于非零特征值的个数，$r(\mathbf{A})=3$ 就逼出 $0$ 与另一个特征值各自的重数。

本题考查实对称矩阵的相似对角化及特征值的确定。 由矩阵方程 ${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}=\mathbf{O}$ 得到特征值的取值范围，再用秩确定重数。

设 $\mathbf{A}\mathbf{X}=\lambda \mathbf{X}(\mathbf{X}\ne 0)$，由 $({\mathbf{A}}^2+\mathbf{A})\mathbf{X}=({\lambda }^2+\lambda )\mathbf{X}=0$ 且 $\mathbf{X}\ne 0$，得 ${\lambda }^2+\lambda =0$，故 $\lambda =0$ 或 $\lambda =-1$。

因 $\mathbf{A}$ 为实对称矩阵，必可对角化。又 $r(\mathbf{A})=3$，故特征值 $0$ 的重数为 $4-3=1$，从而 $\lambda =-1$ 为三重特征值。于是
$$\mathbf{A}\sim \left(\begin{array}{cccc}-1& & & \\ & -1& & \\ & & -1& \\ & & & 0\end{array}\right).$$
故应选 D。