2010 年考研数学（一） 第 5 题

题目给出乘积为单位阵，核心就是两条秩的基本性质：“$r(\mathbf{AB})\le \min \{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})\}$”给下界，“秩 $\le \min \{$行数,列数$\}$”给上界。$\mathbf{AB}=\mathbf{E}$ 把 $r(\mathbf{AB})$ 钉在 $m$，上下夹逼即得结论；做选择题时用这两条就能排除其余选项。

本题考查矩阵秩的两条性质： $r(\mathbf{AB})\le \min \{r(\mathbf{A}),r(\mathbf{B})\}$，以及 $m\times n$ 矩阵的秩 $\le \min \{m,n\}$。

由 $\mathbf{AB}=\mathbf{E}$（$m$ 阶单位阵）知 $r(\mathbf{AB})=r(\mathbf{E})=m$。又 $r(\mathbf{AB})\le r(\mathbf{A})$ 且 $r(\mathbf{AB})\le r(\mathbf{B})$，故 $r(\mathbf{A})\ge m$，$r(\mathbf{B})\ge m$。

另一方面，$\mathbf{A}$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(\mathbf{A})\le m$；$\mathbf{B}$ 为 $n\times m$ 矩阵，$r(\mathbf{B})\le m$。综合得 $r(\mathbf{A})=r(\mathbf{B})=m$。故应选 A。