2010 年考研数学（一） 第 4 题

“和式求极限”且每项能整理成 $\frac{1}{n^2}g\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)$ 时，就是二重积分定义（黎曼和）的信号。破题第一步是强行提出面积元 $\frac{1}{n^2}$，剩下的因子自然显出被积函数；再由求和上下限判定区域——两重和都独立地 $1\to n$，故是单位正方形，而 $n^2+j^2$ 对应 $1+y^2$。

本题考查用二重积分定义求极限。 把双重和式化为函数在小方格上的黎曼和形式。

取正方形区域 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，函数 $f(x,y)=\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}$。将和式提取 $\frac{1}{n^2}$：
$$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{1}{\left(1+\frac{i}{n}\right)\left[1+{\left(\frac{j}{n}\right)}^2\right]}.$$

这恰是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上以 $x=\frac{i}{n}$、$y=\frac{j}{n}$ 为节点的黎曼和，故
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{n}{(n+i)(n^2+j^2)}={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^1\frac{1}{(1+x)(1+y^2)}\mathrm{d}y.$$
故应选 D。