2006 年考研数学（一） 第 7 题

比较 $\mathrm{d}y$ 与 $\Delta y$，本质是比较 $f^{\prime }(x_0)$ 与“平均变化率对应的 $f^{\prime }(\xi )$”。看到要比较增量与微分，就用拉格朗日把 $\Delta y$ 写成 $f^{\prime }(\xi )\Delta x$；$f^{\prime \prime }>0$ 提供 $f^{\prime }$ 单调递增这一关键信息，$\xi >x_0$ 给出 $f^{\prime }(\xi )>f^{\prime }(x_0)>0$，符号全定。几何上就是凸函数的切线在曲线下方。

分析：写出微分 $\mathrm{d}y$ 与增量 $\Delta y$，用拉格朗日中值定理比较，再由 $f^{\prime \prime }>0$（即 $f^{\prime }$ 单调增）定符号。

微分 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\Delta x$；由拉格朗日中值定理，增量 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=f^{\prime }(\xi )\Delta x$，其中 $x_0<\xi <x_0+\Delta x$。

因为 $f^{\prime \prime }(x)>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 单调增加，于是 $0<f^{\prime }(x_0)<f^{\prime }(\xi )$。又 $\Delta x>0$，故 $0<f^{\prime }(x_0)\Delta x<f^{\prime }(\xi )\Delta x$，即 $0<\mathrm{d}y<\Delta y$。应选 A。