2006 年考研数学（一） 第 6 题

处理 $\max$（或 $\min$）与常数比较的概率，关键是等价转化为各分量的事件：$\max \le c$ 等于所有分量都 $\le c$。转化后独立性派上用场，联合概率拆成乘积；每个 $U(0,3)$ 落入 $[0,1]$ 的概率是长度之比 $\frac{1}{3}$，相乘得 $\frac{1}{9}$。

分析：$\max \{X,Y\}\le 1$ 等价于 $X\le 1$ 且 $Y\le 1$，再用独立性把概率拆成乘积。

由 $X,Y\sim U(0,3)$ 得 $P\{X\le 1\}=P\{Y\le 1\}={\int }_0^1\frac{1}{3}\mathrm{d}x=\frac{1}{3}$。

由 $X,Y$ 独立，$$P\{\max \{X,Y\}\le 1\}=P\{X\le 1,Y\le 1\}=P\{X\le 1\}P\{Y\le 1\}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{9}.$$