2006 年考研数学（一） 第 5 题

矩阵方程求行列式，思路是先因式分解出 $B$ 再两边取行列式。看到 $BA-B$ 就想到提公因子 $B(A-E)$；取行列式能把矩阵乘积变成数的乘积，$|B|$ 随之解出。易错点是 $|2E|=2^2$ 而非 $2$（阶数为 $2$）。

分析：先把矩阵方程整理成乘积形式，再对两边取行列式，利用 $|MN|=|M||N|$。

由 $BA=B+2E$ 得 $B(A-E)=2E$。两边取行列式：$$|B|\cdot |A-E|=|2E|=2^2=4.$$

而 $A-E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$，$|A-E|=1\times 1-1\times (-1)=2$，于是 $|B|=\frac{4}{2}=2$。