2006 年考研数学（一） 第 8 题

这类“极坐标二次积分等于哪个直角坐标二次积分”的选择题，正解全在于把区域画对。$\theta$ 从 $0$ 到 $\frac{\pi }{4}$、$r$ 从 $0$ 到 $1$，是单位圆内、直线 $y=x$ 以下的扇形。写成先对 $x$ 的 $Y$ 型时，$x$ 从直线 $x=y$ 到圆弧 $x=\sqrt{1-y^2}$；再用积分下限是否为 $0$、先 $\mathrm{d}x$ 还是先 $\mathrm{d}y$ 排除其余选项。

分析：这是把极坐标下的二次积分还原为直角坐标下的二次积分，关键是画出积分区域。

极坐标区域 $D=\{(r,\theta )\mid 0\le \theta \le \frac{\pi }{4},0\le r\le 1\}$，即由 $x$ 轴、直线 $y=x$ 与单位圆 $x^2+y^2=1$ 围成、位于 $y=x$ 下方的第一象限扇形区域。

化为 $Y$ 型区域：$D=\{(x,y)\mid y\le x\le \sqrt{1-y^2},0\le y\le \frac{\sqrt{2}}{2}\}$。对固定的 $y$，$x$ 从直线 $x=y$ 到圆弧 $x=\sqrt{1-y^2}$。于是原式 $={\int }_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{d}y{\int }_y^{\sqrt{1-y^2}}f(x,y)\mathrm{d}x$。应选 C。