2006 年考研数学（一） 第 9 题

面对“哪个级数一定收敛”，先用收敛级数的线性性质锁定稳妥项：D 只是移位加线性组合，必收敛。其余三项都可能因取绝对值、乘 $(-1{)}^n$、相邻项相乘而破坏收敛，用条件收敛的交错级数（$\frac{(-1{)}^n}{n}$、$\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$）作反例逐一击破，是判断级数题的标准思路。

分析：由收敛级数的线性性质直接判断 D，其余选项举反例排除。

由 $\sum a_n$ 收敛得 $\sum \frac{1}{2}{a}_n$ 与 $\sum \frac{1}{2}{a}_{n+1}$ 均收敛（后者是前者去掉首项的移位），故其和 $\sum \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$ 收敛。应选 D。

反例排除：取 $a_n=\frac{(-1{)}^n}{n}$，则 $\sum a_n$ 收敛，但 $\sum |a_n|=\sum \frac{1}{n}$、$\sum (-1{)}^n{a}_n=\sum \frac{1}{n}$ 均发散，故 A、B 不对；取 $a_n=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$，则 $a_n{a}_{n+1}=-\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}}\sim -\frac{1}{n}$，$\sum a_n{a}_{n+1}$ 发散，故 C 不对。