2006 年考研数学（一） 第 10 题

条件极值的题眼是“极值点必满足拉格朗日必要条件”。写出两式后做逻辑推演：$f_x^{\prime }\ne 0$ 迫使 $\lambda \ne 0$（否则第一式给 $f_x^{\prime }=0$ 矛盾），再由第二式 $f_y^{\prime }=-\lambda {\phi }_y^{\prime }$ 及 ${\phi }_y^{\prime }\ne 0$ 得 $f_y^{\prime }\ne 0$。选择题就转化为对这两个方程的非零性讨论。

分析：用拉格朗日乘数法写出极值点满足的必要条件，再逐项分析。

令 $F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$。因为 $(x_0,y_0)$ 是 $f$ 在约束 $\phi =0$ 下的极值点，故存在 $\lambda$ 使 $$f_x^{\prime }(x_0,y_0)+\lambda {\phi }_x^{\prime }(x_0,y_0)=0,f_y^{\prime }(x_0,y_0)+\lambda {\phi }_y^{\prime }(x_0,y_0)=0.$$

若 $f_x^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，则由 $f_x^{\prime }+\lambda {\phi }_x^{\prime }=0$ 知 $\lambda \ne 0$（否则 $f_x^{\prime }=0$）。又 ${\phi }_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$，于是 $f_y^{\prime }(x_0,y_0)=-\lambda {\phi }_y^{\prime }(x_0,y_0)\ne 0$。应选 D。