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2006 年考研数学（一）第 11 题

选择题 · 4 分

设

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

均为

n

维列向量，

A

是

m \times n

矩阵，下列选项正确的是（　　）

A若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则 $A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}$ 线性相关.
B若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性相关，则 $A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}$ 线性无关.
C若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则 $A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}$ 线性相关.
D若 $α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}$ 线性无关，则 $A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}$ 线性无关.

提示 1

从“线性相关”的定义出发：存在不全为零的系数

k_{i}

使

\sum k_{i} α_{i} = 0

。

提示 2

把这个线性关系式两边左乘

A

，观察

A α_{i}

之间是否也出现同样系数的零组合。

提示 3

反方向（无关能否推出无关）不一定成立，想想

A

秩很小时会怎样，据此排除其它选项。

答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

关键洞察是“线性相关的定义天然与左乘

A

相容”：

\sum k_{i} α_{i} = 0

左乘

A

立即得

\sum k_{i} A α_{i} = 0

，系数原封不动仍不全为零，相关性被保留。而无关性不被保留（

A

可能压缩维数），所以只有“相关

\Rightarrow

相关”这一方向恒真。

解答

分析：直接用线性相关的定义，把线性关系式左乘

A

。

若

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{s}

线性相关，则存在不全为零的常数

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{s}

使

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2} + \dots + k_{s} α_{s} = 0.

两边左乘

A

得

k_{1} A α_{1} + k_{2} A α_{2} + \dots + k_{s} A α_{s} = 0,

系数仍不全为零，故

A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{s}

线性相关。应选 A。

注：

C

、

D

不成立，因为

A

可能使无关向量组变为相关（如

A

的秩较小时），故由无关推不出任何确定结论。

考点：向量组的线性相关性、矩阵的秩

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