2006 年考研数学（一） 第 12 题

初等变换问题的核心口诀是“左行右列”。行操作把 $A$ 变成 $B=PA$；再看列操作对应的初等矩阵，把“第 $1$ 列 $-1$ 倍加到第 $2$ 列”的矩阵与 $P$ 对比，会发现它正是 $P^{-1}$（互为逆操作），于是 $C=PA{P}^{-1}$。区分 $P^{-1}$ 与 $P^{\mathrm{T}}$ 是本题易错点。

分析：行变换等于左乘初等矩阵，列变换等于右乘初等矩阵。

将第 2 行加到第 1 行，相当于左乘初等矩阵 $P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$，故 $B=PA$。

将第 1 列的 $-1$ 倍加到第 2 列，相当于右乘初等矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=P^{-1}$，故 $C=B{P}^{-1}=PA{P}^{-1}$。应选 B。