2006 年考研数学（一） 第 3 题

第二型曲面积分且曲面开口，典型套路是“补面—高斯—再减补面”。选高斯而非直接投影，是因为散度 $1+2+3=6$ 是常数，体积分变成算圆锥体体积，非常省事；补面选 $z=1$ 又恰使 $3(z-1)=0$，补面积分为零，几乎没有额外代价。

分析：曲面不封闭，补一块平面凑成封闭曲面后用高斯公式。

补充 ${\Sigma }_0:z=1(x^2+y^2\le 1)$ 取上侧，则 $\Sigma +{\Sigma }_0$ 为封闭曲面且取外侧。被积向量场 $(P,Q,R)=(x,2y,3(z-1))$ 的散度 $\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=1+2+3=6$。

由高斯公式，记 $\Omega$ 为封闭曲面所围立体（$\sqrt{x^2+y^2}\le z\le 1$），$$\underset{\Sigma +{\Sigma }_0}{\iint }=6\underset{\Omega }{\iiint }\mathrm{d}V=6{\int }_0^1\pi z^2\mathrm{d}z=6\cdot \frac{\pi }{3}=2\pi .$$

在 ${\Sigma }_0$ 上 $z=1$，其法向量为 $(0,0,1)$，只有 $\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ 项有贡献，而 $3(z-1)=3(1-1)=0$，故 $\underset{{\Sigma }_0}{\iint }=0$。所以 $$\underset{\Sigma }{\iint }=2\pi -0=2\pi .$$