2006 年考研数学（一） 第 2 题

右端是 $y$ 的一次齐次式 $\frac{y}{x}(1-x)$，可直接分离变量（也可看成一阶线性齐次方程）。关键第一步是把 $\frac{1-x}{x}$ 拆成 $\frac{1}{x}-1$，这样积分立刻得到 $\ln |x|-x$，指数化后各常数吸收成一个 $C$。

分析：这是可分离变量（也是一阶线性齐次）的微分方程。

分离变量得 $\frac{\mathrm{d}y}{y}=\frac{1-x}{x}\mathrm{d}x=\left(\frac{1}{x}-1\right)\mathrm{d}x$。两边积分：$$\ln |y|=\ln |x|-x+C_1,$$ 即 $y=Cx{\mathrm{e}}^{-x}$（$C$ 为任意常数）。