2006 年考研数学（一） 第 1 题

分子分母同时趋于 $0$，是标准 $\frac{0}{0}$ 型。看到 $\ln (1+x)$、$1-\cos x$ 这类都有现成等价无穷小的因子，直接替换比洛必达更快：把每部分换成最低阶的幂（都化到 $x^2$ 量级），比值一眼可得。

分析：这是 $\frac{0}{0}$ 型极限，用等价无穷小替换最为简便。

当 $x\to 0$ 时，$\ln (1+x)\sim x$，故 $x\ln (1+x)\sim x^2$；又 $1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$。于是 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x)}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^2}=2.$$