2006 年考研数学（一） 第 22 题

$Y=X^2$ 非单调，不能直接套公式，稳妥办法是分布函数法：从 $P\{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}$ 出发，按 $X$ 密度分界点 $-1,0,2$ 把 $y$ 分成 $[0,1),[1,4)$ 等段分别积分，求导即得 $f_Y$。第二问 $F$ 是联合分布函数，把 $Y\le 4$ 换成 $X$ 的范围后与 $X\le -\frac{1}{2}$ 求交，落到 $X$ 一维密度上积分，注意密度支撑把下限截到 $-1$。

（Ⅰ） 用分布函数法求 $Y=X^2$ 的分布。$F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{X^2\le y\}$。

当 $y<0$ 时，$F_Y(y)=0$；

当 $0\le y<1$ 时，$F_Y(y)=P\{-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}\}={\int }_{-\sqrt{y}}^0\frac{1}{2}\mathrm{d}x+{\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{4}\mathrm{d}x=\frac{3\sqrt{y}}{4}$；

当 $1\le y<4$ 时，$F_Y(y)=P\{-1\le X\le \sqrt{y}\}={\int }_{-1}^0\frac{1}{2}\mathrm{d}x+{\int }_0^{\sqrt{y}}\frac{1}{4}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{y}}{4}$；

当 $y\ge 4$ 时，$F_Y(y)=1$。

求导得 $$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8\sqrt{y}},& 0<y<1,\\ \frac{1}{8\sqrt{y}},& 1\le y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

（Ⅱ） $$F\left(-\frac{1}{2},4\right)=P\left\{X\le -\frac{1}{2},Y\le 4\right\}=P\left\{X\le -\frac{1}{2},-2\le X\le 2\right\}=P\left\{-2\le X\le -\frac{1}{2}\right\}.$$ 由于 $X<-1$ 时密度为 $0$，故 $$=P\left\{-1\le X\le -\frac{1}{2}\right\}={\int }_{-1}^{-\frac{1}{2}}\frac{1}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{4}.$$