2006 年考研数学（一） 第 21 题

本题把两条信息直接转成特征对：行和为常数等价于 $(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$ 是特征值 $3$ 的特征向量；$Ax=0$ 的解等价于特征值 $0$ 的特征向量。三阶且已得 $0,0,3$，特征结构完整。正交对角化时跨特征值的向量已正交，只需对同一特征值 $0$ 的 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 做施密特正交化并单位化——这是实对称矩阵的标准流程。

（Ⅰ） 因 $A$ 各行元素之和均为 3，即 $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$，故 ${\lambda }_3=3$ 是 $A$ 的特征值，对应特征向量 ${\alpha }_3=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$。

又 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 是 $Ax=0$ 的解，即 $A{\alpha }_i=0=0\cdot {\alpha }_i$，故 $\lambda =0$ 是特征值，${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 为其对应特征向量。因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 线性无关，$\lambda =0$ 是二重特征值，即 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0$。

所以 $A$ 的特征值为 ${\lambda }_1={\lambda }_2=0,{\lambda }_3=3$；$\lambda =3$ 对应的全部特征向量为 $k(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}(k\ne 0)$，$\lambda =0$ 对应的全部特征向量为 $k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2(k_1,k_2$ 不全为零$)$。

（Ⅱ） 对 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$ 施密特正交化：${\beta }_1={\alpha }_1=(-1,2,-1{)}^{\mathrm{T}}$，$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1={\alpha }_2-\frac{-3}{6}{\beta }_1=\frac{1}{2}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}}.$$ ${\beta }_3={\alpha }_3=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$（对应不同特征值，已与 ${\beta }_1,{\beta }_2$ 正交）。

单位化得 $${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(-1,2,-1{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,0,1{)}^{\mathrm{T}},{\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}.$$

令 $$Q=\left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\end{array}\right),$$ 则 $Q$ 为正交矩阵，且 $Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$。