2006 年考研数学（一） 第 20 题

本题核心是把“解的结构”信息（$3$ 个无关解）翻译成秩的约束。上界靠“$k$ 个无关的非齐次解给出 $k-1$ 个无关的齐次解”，得 $4-r(A)\ge 2$；下界靠系数行不成比例。夹逼出 $r(A)=2$ 后，参数 $a,b$ 由秩条件（第三行须被前两行线性表示，即成比例）定出，最后按“通解 $=$ 特解 $+$ 齐次基础解系”组织答案。

（Ⅰ） 系数矩阵 $A$ 为 $3\times 4$ 矩阵，故 $r(A)\le 3$。由于第 1、2 行不成比例，故 $r(A)\ge 2$。

设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 为 $AX=b$ 的 3 个线性无关解，则 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_3$ 是 $AX=0$ 的两个解。令 $k_1({\alpha }_1-{\alpha }_2)+k_2({\alpha }_1-{\alpha }_3)=0$，即 $(k_1+k_2){\alpha }_1-k_1{\alpha }_2-k_2{\alpha }_3=0$，由 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关得 $k_1=k_2=0$，故 ${\alpha }_1-{\alpha }_2,{\alpha }_1-{\alpha }_3$ 线性无关，即 $AX=0$ 至少有 2 个线性无关解，于是 $4-r(A)\ge 2$，即 $r(A)\le 2$。综上 $r(A)=2$。

（Ⅱ） 对增广矩阵作初等行变换：$$\bar{A}=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& -1\\ 4& 3& 5& -1& -1\\ a& 1& 3& b& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& 1& -1\\ 0& -1& 1& -5& 3\\ 0& 1-a& 3-a& b-a& 1+a\end{array}\right).$$ 由 $r(A)=r(\bar{A})=2$，第三行须与第二行成比例：$$\frac{-1}{1-a}=\frac{1}{3-a}=\frac{-5}{b-a}=\frac{3}{1+a},$$ 解得 $a=2,b=-3$。

代入并继续化简得 $$\bar{A}\to \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 2& -4& 2\\ 0& 1& -1& 5& -3\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right).$$ 取 $x_3,x_4$ 为自由未知量，得原方程组的通解 $$X=C_1\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+C_2\left(\begin{array}{c}4\\ -5\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}2\\ -3\\ 0\\ 0\end{array}\right)(C_1,C_2\text{ 为任意常数}).$$