2006 年考研数学（一） 第 19 题

闭曲线积分证为零，首选格林公式把它转成区域上的二重积分，只要被积的 $Q_x-P_y$ 恒为零即可。算出来是 $-(x{f}_x^{\prime }+y{f}_y^{\prime }+2f)$，这正是 $-2$ 次齐次函数的欧拉关系；把齐次条件对参数 $t$ 求导并取 $t=1$ 就得 $x{f}_x^{\prime }+y{f}_y^{\prime }=-2f$，被积函数化零，积分自然为零。识别“齐次加对 $t$ 求导”是本题的关键一跳。

分析：记 $P=yf$，$Q=-xf$，用格林公式把曲线积分化为二重积分，再由齐次条件（欧拉关系）证明被积函数恒为零。

令 $P(x,y)=yf(x,y)$，$Q(x,y)=-xf(x,y)$，则 $$\frac{\partial P}{\partial y}=f(x,y)+y{f}_y^{\prime }(x,y),\frac{\partial Q}{\partial x}=-f(x,y)-x{f}_x^{\prime }(x,y).$$

将齐次关系 $f(tx,ty)=t^{-2}f(x,y)$ 两边对 $t$ 求导，得 $$x{f}_x^{\prime }(tx,ty)+y{f}_y^{\prime }(tx,ty)=-2t^{-3}f(x,y).$$ 取 $t=1$ 得 $x{f}_x^{\prime }(x,y)+y{f}_y^{\prime }(x,y)=-2f(x,y)$，即 $$x{f}_x^{\prime }(x,y)+y{f}_y^{\prime }(x,y)+2f(x,y)=0.$$

设 $L$ 所围区域为 $D^{\prime }$（含于上半平面），由格林公式 $${\oint }_{L}yf\mathrm{d}x-xf\mathrm{d}y=\underset{D^{\prime }}{\iint }\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\underset{D^{\prime }}{\iint }\left[x{f}_x^{\prime }+y{f}_y^{\prime }+2f\right]\mathrm{d}x\mathrm{d}y=-\underset{D^{\prime }}{\iint }0\mathrm{d}x\mathrm{d}y=0.$$ 证毕。