2006 年考研数学（一） 第 18 题

第一问是把二元的拉普拉斯方程通过链式法则“降维”成关于 $u$ 的常微分方程，关键是耐心算二阶偏导并利用 $x^2+y^2=u^2$ 让两式相加时交叉项合并。第二问方程缺 $f$ 本身，属可降阶型：令 $p=f^{\prime }$ 得 $\frac{p^{\prime }}{p}=-\frac{1}{u}$，解出 $f^{\prime }=\frac{C_1}{u}$，再积分得对数，初值 $f(1)=0,f^{\prime }(1)=1$ 定出 $f(u)=\ln u$。

（Ⅰ） 令 $u=\sqrt{x^2+y^2}$，则 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{u}$，于是 $\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime }(u)\cdot \frac{x}{u}$。

再求二阶偏导：$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}=f^{\prime \prime }(u)\cdot \frac{x^2}{u^2}+f^{\prime }(u)\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{x}{u}\right)=\frac{x^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)+\frac{u^2-x^2}{u^3}{f}^{\prime }(u)=\frac{x^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)+\frac{y^2}{u^3}{f}^{\prime }(u).$$ 由对称性 $$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=\frac{y^2}{u^2}{f}^{\prime \prime }(u)+\frac{x^2}{u^3}{f}^{\prime }(u).$$

相加（注意 $x^2+y^2=u^2$）：$$\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y^2}=f^{\prime \prime }(u)+\frac{f^{\prime }(u)}{u}.$$ 由已知它等于 $0$，故 $f^{\prime \prime }(u)+\frac{f^{\prime }(u)}{u}=0$。

（Ⅱ） 方程 $f^{\prime \prime }(u)+\frac{1}{u}{f}^{\prime }(u)=0$ 是关于 $f^{\prime }$ 的一阶方程。由 $\frac{f^{\prime \prime }(u)}{f^{\prime }(u)}=-\frac{1}{u}$ 得 $f^{\prime }(u)=\frac{C_1}{u}$。由 $f^{\prime }(1)=1$ 得 $C_1=1$，即 $f^{\prime }(u)=\frac{1}{u}$。

积分得 $f(u)=\ln u+C_2$，再由 $f(1)=0$ 得 $C_2=0$。故 $$f(u)=\ln u.$$