2006 年考研数学（一） 第 17 题

有理函数展开幂级数的通法是“部分分式加几何级数”。分母 $2+x-x^2=(1+x)(2-x)$ 提示拆成 $\frac{1}{1+x}$ 与 $\frac{1}{2-x}$，二者都能写成 $\frac{1}{1-t}$ 型直接展开。提出 $\frac{x}{3}$ 并整理系数，是为把两条级数并成一条以 $x^{n+1}$ 为通项的级数；收敛域取两者交集 $(-1,1)$。

分析：先因式分解并作部分分式，再套用几何级数展开式。

因 $2+x-x^2=(1+x)(2-x)$，故 $$f(x)=\frac{x}{(1+x)(2-x)}=\frac{x}{3}\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2-x}\right).$$

而 $$\frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^n(-1<x<1),$$ $$\frac{1}{2-x}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^n}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{2^{n+1}}(-2<x<2).$$

于是当 $-1<x<1$ 时 $$f(x)=\frac{x}{3}\sum _{n=0}^{\infty }\left[(-1{)}^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right]x^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{1}{3}\left[(-1{)}^n+\frac{1}{2^{n+1}}\right]x^{n+1}(-1<x<1).$$