2006 年考研数学（一） 第 16 题

第一问是典型“递推数列极限”，信号是给了 $x_{n+1}=g(x_n)$，标准动作是单调有界准则加对递推式取极限解 $A=\sin A$。第二问底趋于 $1$、指数含 $1/x_n^2$，是 $1^{\infty }$ 型，取对数化成指数上的极限；核心是 $\sin t-t\sim -\frac{t^3}{6}$（泰勒三阶），于是指数趋于 $-\frac{1}{6}$，答案 ${\mathrm{e}}^{-1/6}$。

（Ⅰ）用单调有界准则。 由 $0<x_1<\pi$ 得 $x_2=\sin x_1\in (0,1]\subset \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，于是 $x_n\in (0,1)(n=2,3,\cdots )$，数列有界。

又当 $x\ge 0$ 时 $\sin x\le x$，所以 $x_{n+1}=\sin x_n\le x_n$，即 $\{x_n\}$ 单调递减。由极限存在准则，$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$ 存在。设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A$，对 $x_{n+1}=\sin x_n$ 两边取极限得 $A=\sin A$，故 $A=0$，即 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。

（Ⅱ） 由于 $x_n\to 0$，记 $${\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)}^{\frac{1}{x_n^2}}={\left(\frac{\sin x_n}{x_n}\right)}^{\frac{1}{x_n^2}}={\left(1+\frac{\sin x_n-x_n}{x_n}\right)}^{\frac{1}{x_n^2}}.$$

利用 ${\left(1+u\right)}^{1/u}\to \mathrm{e}$，上式 $=\exp \left(\frac{\sin x_n-x_n}{x_n}\cdot \frac{1}{x_n^2}\right)=\exp \left(\frac{\sin x_n-x_n}{x_n^3}\right)$（当 $x_n\to 0$ 时）。

而 $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\sin t-t}{t^3}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\cos t-1}{3t^2}=-\frac{1}{6},$$ 所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sin x_n-x_n}{x_n^3}=-\frac{1}{6}$。故 $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{x_{n+1}}{x_n}\right)}^{\frac{1}{x_n^2}}={\mathrm{e}}^{-\frac{1}{6}}.$$