2006 年考研数学（一） 第 15 题

见到被积函数含 $xy$ 这类奇性项、区域又对称，第一反应就是用对称性消项：右半圆盘关于 $x$ 轴对称，$\frac{xy}{1+x^2+y^2}$ 是 $y$ 的奇函数积分为零，问题立刻简化。剩下的 $\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 只依赖 $r$，天然适合极坐标，${\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}\mathrm{d}r$ 一步出对数。

分析：$D$ 是右半单位圆盘，关于 $x$ 轴对称，先用对称性去掉含 $xy$ 的奇函数部分，再用极坐标计算。

$D$ 关于 $x$ 轴（即变量 $y$）对称。被积函数中 $\frac{xy}{1+x^2+y^2}$ 关于 $y$ 为奇函数，其积分为 $0$；$\frac{1}{1+x^2+y^2}$ 关于 $y$ 为偶函数。故 $$I=\underset{D}{\iint }\frac{1}{1+x^2+y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

用极坐标，$D=\{(r,\theta )\mid -\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 1\}$，于是 $$I={\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\mathrm{d}\theta {\int }_0^1\frac{r}{1+r^2}\mathrm{d}r=\pi \cdot {\left[\frac{1}{2}\ln (1+r^2)\right]}_0^1=\frac{\pi }{2}\ln 2.$$