2006 年考研数学（一） 第 14 题

正态分布比较概率的通法是标准化到 $\Phi$。标准化后 $\mu$ 消掉，立刻排除关于 $\mu$ 的选项；剩下比较 $\Phi (1/{\sigma }_1)>\Phi (1/{\sigma }_2)$，借 $\Phi$ 单调递增得 $1/{\sigma }_1>1/{\sigma }_2$ 即 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。直观上方差越小取值越集中，落在同宽区间的概率越大。

分析：把两个概率标准化后用标准正态分布函数 $\Phi$ 表示，再比较。

由 $\frac{X-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\sim N(0,1)$，$\frac{Y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\sim N(0,1)$，得 $$P\{|X-{\mu }_1|<1\}=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-1,P\{|Y-{\mu }_2|<1\}=2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)-1.$$

由已知 $2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)-1>2\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)-1$，即 $\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_1}\right)>\Phi \left(\frac{1}{{\sigma }_2}\right)$。由 $\Phi$ 单调增知 $\frac{1}{{\sigma }_1}>\frac{1}{{\sigma }_2}$，即 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。应选 A。