2006 年考研数学（一） 第 23 题

最大似然的通法是“写似然—取对数—求导置零”。本题密度只有两档取值，样本贡献要么 $\theta$ 要么 $1-\theta$，于是似然天然是 ${\theta }^N(1-\theta {)}^{n-N}$（与二项分布同形）。引入计数 $N$ 正是为把连乘写成幂次；对数似然求导解得 $\hat{\theta }=\frac{N}{n}$，即样本落在 $(0,1)$ 的频率，符合直觉。

分析：样本中有 $N$ 个落在 $(0,1)$（每个贡献 $\theta$），其余 $n-N$ 个落在 $[1,2)$（每个贡献 $1-\theta$），据此写出似然函数。

似然函数为 $$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta )={\theta }^N(1-\theta {)}^{n-N}.$$ 取对数 $$\ln L(\theta )=N\ln \theta +(n-N)\ln (1-\theta ).$$

令 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\ln L(\theta )=\frac{N}{\theta }-\frac{n-N}{1-\theta }=0,$$ 解得 $\theta =\frac{N}{n}$。故 $\theta$ 的最大似然估计为 $$\hat{\theta }=\frac{N}{n}.$$