2005 年考研数学（一）第 9 题

选择题 · 4 分

设函数

u (x, y) = φ (x + y) + φ (x - y) + \int_{x - y}^{x + y} ψ (t) d t

，其中函数

φ

具有二阶导数，

ψ

具有一阶导数，则必有（　　）

A $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = - \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$ .
B $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$ .
C $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}$ .
D $\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}$ .

提示 1

四个选项都在比较二阶偏导，最直接的办法就是把各阶偏导老实算出来。

提示 2

对变限积分项求偏导要用变限求导公式，对上限、下限分别处理。

提示 3

算出

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}}

、

\frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

、

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x \partial y}

后直接对照选项，看哪个等式成立。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

这是波动方程背景下的复合函数，

φ (x + y) + φ (x - y)

的对称结构会使某些二阶偏导相等。但考场上不必先验猜结论，直接分别对

x, y

各求两次偏导（变限积分用求导公式），把二阶偏导都算出来再逐一核对选项，最稳妥。

解答

分析：直接对

u

求二阶偏导数，注意变限积分求导。

\frac{\partial u}{\partial x} = φ^{'} (x + y) + φ^{'} (x - y) + ψ (x + y) - ψ (x - y)

，

\frac{\partial u}{\partial y} = φ^{'} (x + y) - φ^{'} (x - y) + ψ (x + y) + ψ (x - y)

。

于是

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = φ^{''} (x + y) + φ^{''} (x - y) + ψ^{'} (x + y) - ψ^{'} (x - y)

，

\frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}} = φ^{''} (x + y) + φ^{''} (x - y) + ψ^{'} (x + y) - ψ^{'} (x - y)

。

两者显然相等，故

\frac{\partial ^{2} u}{\partial x ^{2}} = \frac{\partial ^{2} u}{\partial y ^{2}}

，应选 B。

2005 年考研数学（一） 第 9 题