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2005 年考研数学（一） 第 8 题
选择题 · 4 分
设 是连续函数 的一个原函数，“” 表示“ 的充分必要条件是 ”，则必有（ ）
- A 是偶函数 是奇函数.
- B 是奇函数 是偶函数.
- C 是周期函数 是周期函数.
- D 是单调函数 是单调函数.
提示 1
选择题可先用具体例子排除：给 取简单的偶函数、周期函数、单调函数，看其原函数 是否也有对应性质。提示 2
对怀疑正确的一项，用 配合换元或求导来正面验证。提示 3
注意「原函数可相差任意常数」，周期性、单调性对加常数是否敏感，是排除选项的关键。答案与详解
答案 A
思路（为什么这么做）
充要条件型选择题，先用反例快速否定那些「易被任意常数破坏」的性质（如周期、单调），剩下的一项再正面证明。判断奇偶性时借助「奇函数的原函数是偶函数」这一对称结论，正、反两个方向各推一次即可。
解答
分析：用举反例排除 B、C、D，再证明 A 正确。
取 （偶函数），其原函数 不一定是奇函数，B 不对；取 （周期函数）， 不是周期函数，C 不对；取 （单调函数）， 不是单调函数，D 不对。
对 A：若 为奇函数，取 ，换元 可验证 ，即 为偶函数；反之，若 ，两边求导得 ，即 ， 为奇函数。故 A 成立，应选 A。
取 （偶函数），其原函数 不一定是奇函数，B 不对；取 （周期函数）， 不是周期函数，C 不对；取 （单调函数）， 不是单调函数，D 不对。
对 A：若 为奇函数，取 ，换元 可验证 ，即 为偶函数；反之，若 ，两边求导得 ，即 ， 为奇函数。故 A 成立，应选 A。