2005 年考研数学（一） 第 7 题

形如 $\sqrt[n]{a^n+b^n}$ 的极限，通法是提出最大项并用夹逼准则，结果是「取较大者」的分段函数。求出 $f(x)$ 后，可导性问题就集中到分段点上——在连接处比较左右导数即可判断有几个不可导点。

分析：先用夹逼准则求出极限函数 $f(x)$ 的分段表达式，再讨论可导性。

当 $|x|\le 1$ 时，$1\le \sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{2}$，由夹逼准则得极限为 $1$；当 $|x|>1$ 时，$|x{|}^3=\sqrt[n]{|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}\le \sqrt[n]{2}|x{|}^3$，由夹逼准则得极限为 $|x{|}^3$。

故 $f(x)=\{\begin{array}{ll}1,& |x|\le 1,\\ |x{|}^3,& |x|>1.\end{array}$ 该函数在 $\mathbb{R}$ 上连续。

在 $x=1$ 处，左导数为 $0$、右导数为 $3$；在 $x=-1$ 处，左导数为 $-3$、右导数为 $0$，均不相等。故 $f(x)$ 恰有两个不可导点，应选 C。