2005 年考研数学（一） 第 6 题

「先取 $X$，再从 $1$ 到 $X$ 中取 $Y$」是典型的两阶段随机试验，第二步的概率随第一步取值而变，正是全概率公式的用武之地。把 $X$ 的四个取值当作划分，分别算条件概率再加权求和，注意 $Y=2$ 要求 $X\ge 2$。

分析：以 $X$ 的取值为完备事件组，用全概率公式。

记 $A_i=\{X=i\}(i=1,2,3,4)$，则 $P(A_i)=\frac{1}{4}$。当 $X=i$ 时 $Y$ 从 $1,\cdots ,i$ 中等可能取值，故

$P\{Y=2\mid A_1\}=0,P\{Y=2\mid A_2\}=\frac{1}{2},P\{Y=2\mid A_3\}=\frac{1}{3},P\{Y=2\mid A_4\}=\frac{1}{4}$。

由全概率公式 $P\{Y=2\}=\sum _{i=1}^{4}P(A_i)P\{Y=2\mid A_i\}=\frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)=\frac{13}{48}$。