2005 年考研数学（一） 第 5 题

各列都是 ${\mathbf{\alpha }}_i$ 的组合，提示把 $B$ 分解为 $A$ 乘一个数字矩阵，从而借行列式乘法把 $|B|$ 拆成 $|A|$ 与一个具体行列式之积。系数矩阵的列恰是 $1,i,i^2$ 的形状，识别出范德蒙德结构就能直接算出。

分析：把 $B$ 写成 $A$ 右乘一个数值矩阵，利用行列式的乘法及范德蒙德行列式。

由列的线性组合可得
$$B=A\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right),$$

故 $|B|=|A|\cdot \left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 3\\ 1& 4& 9\end{array}\right|$。右端为以 $1,2,3$ 为节点的范德蒙德行列式，其值 $=(2-1)(3-1)(3-2)=2$。

所以 $|B|=1\times 2=2$。