2005 年考研数学（一） 第 4 题

「闭曲面外侧 + 第二类曲面积分」是高斯公式的典型触发条件，而这里散度恰为常数，化成三重积分后只剩体积计算。区域由锥面与球面围成，自然选球坐标；半顶角 $\frac{\pi }{4}$ 决定了 $\phi$ 的积分上限。

分析：曲面为闭曲面外侧，用高斯公式化为三重积分。

由高斯公式，${\iint }_{\Sigma }xdydz+ydzdx+zdxdy={\iiint }_{\Omega }(1+1+1)dV=3{\iiint }_{\Omega }dV$。

区域 $\Omega$ 是顶点在原点、半顶角为 $\frac{\pi }{4}$ 的锥面与球面 $r=R$ 所围。用球坐标
$$3{\iiint }_{\Omega }dV=3{\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\pi /4}\sin \phi d\phi {\int }_0^R{r}^{2}dr=2\pi R^3\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=(2-\sqrt{2})\pi R^3.$$