2005 年考研数学（一） 第 3 题

求指定方向的方向导数，标准做法是「梯度点乘单位方向向量」。所以第一步就是求梯度并在给定点取值，再与 $\mathbf{n}$ 作数量积。题目直接给出 $\mathbf{n}$ 为单位向量，省去了归一化，套公式即可。

分析：方向导数等于梯度与单位方向向量的数量积。

求偏导 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{3},\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{6},\frac{\partial u}{\partial z}=\frac{z}{9}$，在点 $(1,2,3)$ 处三者均等于 $\frac{1}{3}$。

故 $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}{|}_{(1,2,3)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。