2005 年考研数学（一） 第 2 题

方程中 $y^{\prime }$ 与 $y$ 都是一次、系数只依赖 $x$，这是一阶线性方程的典型标志，所以先化标准形 $y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\ln x$ 再用积分因子。积分因子 $e^{\int 2/xdx}=x^2$ 能把左端凑成 $(x^{2}y{)}^{\prime }$，这正是选用公式法的动机。

分析：这是一阶线性微分方程，化为标准形后用通解公式。

将方程化为 $y^{\prime }+\frac{2}{x}y=\ln x$，通解为
$$y=e^{-\int \frac{2}{x}dx}\left(\int \ln x\cdot e^{\int \frac{2}{x}dx}dx+C\right)=\frac{1}{x^2}\left(\int x^2\ln xdx+C\right)=\frac{1}{x^2}\left(\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{1}{9}{x}^3+C\right).$$

由初值 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 得 $-\frac{1}{9}=-\frac{1}{9}+C$，故 $C=0$。

所以所求解为 $y=\frac{x\ln x}{3}-\frac{x}{9}$。