2005 年考研数学（一） 第 1 题

看到「求斜渐近线」就回到定义：先用 $y/x$ 的极限定斜率 $a$，再用 $y-ax$ 的极限定截距 $b$。本题是有理函数且分子比分母高一次，这正是存在斜渐近线的信号，保证这两个极限都收敛到有限值。

分析：斜渐近线 $y=ax+b$ 中，$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}$，$b=\underset{x\to \infty }{\lim }(y-ax)$。

先求斜率 $a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{y}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2}{x(2x+1)}=\frac{1}{2}$。

再求截距 $b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x^2}{2x+1}-\frac{x}{2}\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-x}{2(2x+1)}=-\frac{1}{4}$。

故斜渐近线方程为 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$。