2005 年考研数学（一） 第 10 题

隐函数存在定理的核心是：要解出某变量，须它对应的偏导在该点非零。于是把 $F_x,F_y,F_z$ 都在 $(0,1,1)$ 求值，谁为零，对应变量就无法保证解出，据此在各选项间取舍。

分析：令 $F=xy-z\ln y+e^{xz}-1$，考察三个偏导数在点 $(0,1,1)$ 处是否为零。

$F_x=y+z{e}^{xz},F_y=x-\frac{z}{y},F_z=-\ln y+x{e}^{xz}$。

在点 $(0,1,1)$ 处：$F_x=1+1=2\ne 0$，$F_y=0-1=-1\ne 0$，$F_z=-\ln 1+0=0$。

由 $F_x\ne 0$ 可确定 $x=x(y,z)$，由 $F_y\ne 0$ 可确定 $y=y(x,z)$；而 $F_z=0$，不能保证确定 $z=z(x,y)$。故应选 D。