2005 年考研数学（一） 第 11 题

不同特征值的特征向量线性无关，这是把问题降维到 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 这组无关基上的钥匙。用 $A{\mathbf{\alpha }}_i={\lambda }_i{\mathbf{\alpha }}_i$ 展开并写成基乘 $2\times 2$ 系数矩阵后，线性无关就等价于该系数行列式非零，把它算出来即得对特征值的条件。

分析：把 ${\mathbf{\alpha }}_1,A({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)$ 用 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性表示，再看表示矩阵是否可逆。

不同特征值对应的特征向量线性无关，故 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关。又 $A({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)={\lambda }_1{\mathbf{\alpha }}_1+{\lambda }_2{\mathbf{\alpha }}_2$，于是
$$({\mathbf{\alpha }}_1,A({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2))=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)\left(\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right).$$

因 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2$ 线性无关，故所求向量组线性无关 $\iff$ $\left|\begin{array}{cc}1& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right|={\lambda }_2\ne 0$，应选 B。