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2005 年考研数学（一）第 12 题

选择题 · 4 分

设

A

为

n (n \geq 2)

阶可逆矩阵，交换

A

的第

1

行与第

2

行得矩阵

B

，

A^{*}, B^{*}

分别为

A, B

的伴随矩阵，则（　　）

A交换 $A^{*}$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列得 $B^{*}$ .
B交换 $A^{*}$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行得 $B^{*}$ .
C交换 $A^{*}$ 的第 $1$ 列与第 $2$ 列得 $- B^{*}$ .
D交换 $A^{*}$ 的第 $1$ 行与第 $2$ 行得 $- B^{*}$ .

提示 1

伴随矩阵不易直接算，回忆可逆时

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

，把问题转化为逆矩阵。

提示 2

行交换可用初等矩阵表示：

B = E_{12} A

，注意

∣ E_{12} ∣ = - 1

。

提示 3

代入

B^{*} = ∣ B ∣ B^{- 1}

化简，留意行列式变号带来的负号，并分清右乘

E_{12}

对应的是行变换还是列变换。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

伴随矩阵直接讨论很繁，关键一步是用

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

把它转成逆矩阵，再借初等矩阵把行交换写成

B = E_{12} A

。行列式交换一行会变号，这个负号会传导到最终关系式中；而右乘初等矩阵对应的是列变换，据此确定选项里是行还是列、要不要负号。

解答

分析：用

A^{*} = ∣ A ∣ A^{- 1}

把伴随矩阵问题转化为逆矩阵问题。

设

E_{12}

是交换第

1, 2

行的初等矩阵，则

B = E_{12} A

。于是

∣ B ∣ = ∣ E_{12} ∣ ∣ A ∣ = - ∣ A ∣

，

B^{- 1} = A^{- 1} E_{12}^{- 1} = A^{- 1} E_{12}

。

故

B^{*} = ∣ B ∣ B^{- 1} = - ∣ A ∣ A^{- 1} E_{12} = - A^{*} E_{12}

，即

- B^{*} = A^{*} E_{12}

。

右乘

E_{12}

相当于交换

A^{*}

的第

1

列与第

2

列，即“交换

A^{*}

的第

1

列与第

2

列得

- B^{*}

”，应选 C。

考点：伴随矩阵、初等变换与初等矩阵

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