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2005 年考研数学（一）第 13 题

选择题 · 4 分

设二维随机变量

(X, Y)

的概率分布为

X \ Y 01 0 0.4 b 1 a 0.1

已知随机事件

{X = 0}

与

{X + Y = 1}

相互独立，则（　　）

A $a = 0.2, b = 0.3$ .
B $a = 0.4, b = 0.1$ .
C $a = 0.3, b = 0.2$ .
D $a = 0.1, b = 0.4$ .

提示 1

表格里有两个未知数

a, b

，先用「所有概率之和为

1

」列出一个方程。

提示 2

再把独立性写成

P {X = 0} P {X + Y = 1} = P {X = 0, X + Y = 1}

，得到第二个方程。

提示 3

注意

{X + Y = 1}

包含

(0, 1)

与

(1, 0)

两格，别漏算。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

两个未知数需要两个方程：一个来自概率归一化，另一个来自事件独立的定义式。把

{X = 0}

、

{X + Y = 1}

及其交事件的概率都用表格中的元素表示，代入独立等式，与归一化方程联立即可解出

a, b

。

解答

分析：由概率之和为

1

得一个关系，再由独立性得另一个关系。

由概率和为

1

：

0.4 + a + b + 0.1 = 1

，即

a + b = 0.5

。

又

P {X = 0} = 0.4 + a

，

P {X + Y = 1} = P {X = 0, Y = 1} + P {X = 1, Y = 0} = a + b

，

P {X = 0, X + Y = 1} = P {X = 0, Y = 1} = a

。

由独立性

P {X = 0} P {X + Y = 1} = P {X = 0, X + Y = 1}

，即

(0.4 + a) (a + b) = a

。代入

a + b = 0.5

得

(0.4 + a) \times 0.5 = a

，解得

a = 0.4, b = 0.1

，应选 B。

考点：随机变量的独立性、二维随机变量与联合分布

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