2005 年考研数学（一） 第 14 题

抽样分布选择题本质是「定义 + 常记结论」的核对。用 $\sqrt{n}\bar{X}\sim N(0,1)$、$(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1)$、$t=\frac{N(0,1)}{\sqrt{{\chi }^2/df}}$ 依次检验各项；能成立的那一项，是两个相互独立的卡方之比，恰好符合 $F$ 分布的构造。

分析：逐项用抽样分布的定义判断。

由 $X_1\sim N(0,1)$ 得 $X_1^2\sim {\chi }^2(1)$；由 $X_i\sim N(0,1)(i=2,\cdots ,n)$ 独立，得 $\sum _{i=2}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n-1)$，且与 $X_1^2$ 独立。

由 $F$ 分布定义 $\frac{X_1^2/1}{\left({\sum }_{i=2}^n{X}_i^2\right)/(n-1)}=\frac{(n-1)X_1^2}{{\sum }_{i=2}^n{X}_i^2}\sim F(1,n-1)$，D 正确。

其余选项均错：$\bar{X}\sim N\left(0,\frac{1}{n}\right)$，故 $\sqrt{n}\bar{X}\sim N(0,1)$，A 错；$(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1)$，B 错；$\frac{\sqrt{n}\bar{X}}{S}\sim t(n-1)$，C 错。应选 D。