2005 年考研数学（一） 第 15 题

取整函数是「分段常数」，处理它的通法是按其取值把积分区域切开，使每块上被积函数恢复为普通函数。这里 $1+x^2+y^2$ 在 $D$ 上只跨过整数 $2$，所以以圆 $x^2+y^2=1$ 为界分成两块，再用极坐标分别积分。

分析：被积函数含取整函数，需按 $[1+x^2+y^2]$ 的取值把 $D$ 分块，再用极坐标计算。

在第一象限中，当 $0\le x^2+y^2<1$ 时 $1\le 1+x^2+y^2<2$，$[1+x^2+y^2]=1$；当 $1\le x^2+y^2\le \sqrt{2}$ 时 $2\le 1+x^2+y^2\le 1+\sqrt{2}<3$，$[1+x^2+y^2]=2$。

记 $D_1=\{x^2+y^2<1,x\ge 0,y\ge 0\}$，$D_2=\{1\le x^2+y^2\le \sqrt{2},x\ge 0,y\ge 0\}$，则
$${\iint }_{D}xy[1+x^2+y^2]dxdy={\iint }_{D_1}xydxdy+2{\iint }_{D_2}xydxdy.$$

用极坐标（$D_2$ 中 $1\le r\le \sqrt[4]{2}$）：
$$={\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_0^1{r}^3\sin \theta \cos \theta dr+2{\int }_0^{\pi /2}d\theta {\int }_1^{\sqrt[4]{2}}{r}^3\sin \theta \cos \theta dr.$$

由 ${\int }_0^1{r}^{3}dr=\frac{1}{4}$，${\int }_1^{\sqrt[4]{2}}{r}^{3}dr=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}$，得
$$=\frac{1}{4}{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta +\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta \cos \theta d\theta =\frac{3}{4}{\int }_0^{\pi /2}\sin \theta d(\sin \theta )=\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}.$$

故所求二重积分的值为 $\frac{3}{8}$。