2005 年考研数学（一） 第 16 题

和函数题的核心思路是「拆项 + 逐项求导或积分，化成已知级数」。系数里的 $\frac{1}{n(2n-1)}$ 提示用求导降幂：求两次导恰好把分母消掉，得到 $\sum (-1{)}^{n-1}{x}^{2n-2}=\frac{1}{1+x^2}$，再逐次积分还原，用 $S_1(0)=S_1^{\prime }(0)=0$ 定常数。

分析：先用比值法求收敛半径，再把级数拆成两部分分别求和，其中含 $\frac{1}{n(2n-1)}$ 的部分通过逐项求导化为已知级数。

由 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1$，得收敛半径 $R=1$，收敛区间为 $(-1,1)$。

将级数拆分：
$$f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^{2n}+\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n}}{n(2n-1)}=\frac{x^2}{1+x^2}+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n(2n-1)}.$$

记 $S_1(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n}}{2n(2n-1)}$，则 $S_1(0)=0$，且
$$S_1^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1},S_1^{\prime }(0)=0,S_1^{\prime \prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}{x}^{2n-2}=\frac{1}{1+x^2}.$$

于是 $S_1^{\prime }(x)={\int }_0^x\frac{1}{1+t^2}dt=\arctan x$，进而
$$S_1(x)={\int }_0^x\arctan tdt=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2).$$

故和函数为 $f(x)=\frac{x^2}{1+x^2}+2x\arctan x-\ln (1+x^2)$，$x\in (-1,1)$。